【中学2年生数学】平行と合同　基本編その②

今回は、【中学2年生数学】平行と合同　基本編その①に引き続き、「平行と合同」のについて解説していきます！
その①をまだ読んでいない人は、その①を読んでから読み進んでみて下さい！

基礎編と実践編の計4回にわたって解説していくので、是非、最後までお付き合いください。

3．多角形の内角と外角

n角形の内角の和は、なぜ180°×(n-2)になるのか

例えば、図のような5角形の頂点から対角線をひくと、頂点Aとその両隣の頂点B，Eには対角線はひけません。このように、3つの頂点には対角線がひけないことになります。

つまり、n角形にはn個の頂点があるので1つの頂点からひける対角線の数は、（ｎ-3）本になります。

対角線によってつくられる三角形の数は、対角線の本数より1個多くなるので、n-3+1＝n-2（個）1つの三角形の内角の和は180°なので、ｎ角形の内角の和は180°×(n-2)になります。

例題1　次の問いに答えなさい。

（1）六角形の内角の和を求めなさい。

（2）正五角形の1つの外角の大きさを求めなさい。

（3）正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。

（4）六角形の対角線の総本数を求めなさい。

例題1　解答

（1）720°
ｎ角形の内角の和は180°×(n-2)なので、
180°×(6-2)=720°
よって答えは720°になります。

（2）72°
ｎ角形の外角の和は360°なので、
360°÷5＝72°
よって答えは、72°になります。

（3）135°
内角+外角＝180°なので、
360°÷8＝45°
180°-45°＝135°
よって答えは135°になります。

確認ポイント

正ｎ角形の1つの内角の大きさを求めるときは、外角の和が360°より、1つの外角の大きさを求めてから内閣の大きさを求める方が楽にできます。内角+外角＝180°を利用しましょう！

（4）9本
n(n-2)/2本
6(6-3)/2=9
よって答えは9本になります。

ｎ角形の対角線の総本数は、なぜn(n-3)/2本になるか

n角形の1つの頂点からひける対角線の本数は、n-3（本）です。頂点の数がｎ子あるので対角線のひける数は、ｎ倍のn(n-3)本となるのですが、これでは、対角線を2重に数えていることになります。例えば、頂点Aからの対角線は、頂点Dからの対角線DAと同じになります。

したがって、対角線の総本数は、2で割って、n(n-3)/2本となります。

4．合同な図形

三角形の合同の証明

1．問題文から等しい辺や角を見つけます。（図の中に印をつけた方がわかりやすい。）

2．三角形の合同条件にあてはまるには、あとどの辺や角が等しくなればよいかを考えます。

〇辺が等しくなるパターン

辺が共通になっている。
正三角形や正方形などで長さが等しい。

〇角が等しくなるパターン

角が共通になっている。
平行線で、錯角、同位角が等しい。
二等辺三角形の底角が等しい。
正三角形や正方形で等しい。
共通な角に等しい角度の角をたしたり、ひいたりしていて等しい。などのパターンがある。

3．合同条件にあてはまれば、それをもとに証明していく。

例題1　次の三角形の中から合同な三角形をすべて選びなさい。また、合同条件も書きなさい。

例題1　解答

➀と⑤
2辺の長さがそれぞれ6㎝と10㎝で等しく、間の角が53°と等しいので、2辺とその間の角が等しいので合同になります。

②と③
1辺と両端の角がそれぞれ等しいので合同になります。

確認ポイント

合同の証明では、ヒントが問題文の中に隠されています。例えば、「平行」と書いてあれば、「錯角や同位角を探しなさい。」というヒントがあります。なので、わからなくなったら、もう一度落ち着いて問題文を読み直すこと大切です。

最後までご覧いただきありがとうございました！
ぜひ参考にして、テストの点数アップに役立ててみてくださいね。

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